Народився Юхим Березін 11 листопада 1919 року в родині білетера Одеського цирку. Дитинство його минуло в цьому чудовому місті біля моря, про що Березін згадував із гумором, хоча зізнавався, що жити було нелегко.
У шкільні роки брав активну участь у самодіяльності, за виконання віршів Пушкіна отримав премію на міському конкурсі читців. Після закінчення школи вступив до Київського театрального інституту. Навчався на одному курсі з Юрієм Тимошенком.
1 квітня 1939 року два третьокурсники вперше виступили дуетом на студентському «капуснику». Особливий успіх мала програма «Давайте не будемо», де Тимошенко дебютував в образі міліціонера. Маска театрального освітлювача з’явилась у Березіна трохи пізніше, навесні 1941 року, коли молоді артисти стали вести концерти майстрів мистецтв.
Практично відразу після закінчення вишу Березін і Тимошенко були мобілізовані в армію і опинилися в Ансамблі пісні і танцю Південно-Західного фронту разом із балетмейстером Павлом Вірським і композитором Марком Фрадкіним.
Артисти виступали в образах-масках кухаря Галкіна (Березін) і банщика Мочалкіна (Тимошенко), співали пустотливі частівки, виконували сатиричні інтермедії. З цими героями вони пройшли всю війну, виступаючи на всіх концертних майданчиках Південно-Західного фронту, і дійшли до самого Берліна, де сфотографувалися на пам’ять біля Бранденбурзьких воріт.
Артисти фронтових бригад не втрачали один одного і в мирний час. Так, у команду Березіна і Тимошенко входили актор Борис Січкін, хореограф Борис Каменькович, балетмейстер Олександр Сегал, танцюристи Ансамблю імені Павла Вірського...
Усі ці люди збиралися, згадували свою воєнну молодість, співали, жартували, сміялися, Юхим Йосипович же виступав незмінним тамадою. Він володів рідкісним тактом і чуттям — завжди знав, як треба поводитись у тій чи іншій ситуації, коли можна посміятися, а коли слід помовчати, щоб кожен згадав якийсь дуже важливий для нього момент.
На жаль, із кожним роком на такі збори приходило все менше і менше людей — фронтові друзі Березіна і Тимошенко йшли з життя один за одним: хтось помирав від хвороби, хтось — від ран, актори теж потрапляли під вогонь і бомбардування.
Усі інші під час кожної нової зустрічі проводили перекличку, як на фронті під час шикування. І якщо людина не відгукувалась, Юхим Березін кожну таку втрату дуже сильно переживав — буквально на очах ставав усе сумнішим...
Після демобілізації у 1945 році повернулись артисти до колишніх образів — сільський міліціонер Тарапунька (Тимошенко) і монтер Штепсель (Березін). У цій якості вони з величезним успіхом виступили на Другому Всесоюзному конкурсі артистів естради, який відбувся у 1946 році.
Ставши лауреатами, володарями першої премії, Тимошенко і Березін отримали запрошення вести концерти на найпрестижнішому естрадному майданчику країни — у Театрі «Ермітаж».
Творча незгода призвела до тимчасової перерви у виступах дуету. Березін у той період (1946–1948 роки) працював режисером Київського російського драматичного театру ім. Л. Українки, головним режисером республіканської естради. Але незабаром Тимошенко знову запропонував партнеру возз’єднатись, і протягом понад 35 років сатиричний дует Тарапунька і Штепсель був одним із найпопулярніших на радянській естраді.
Поєднання російської та української мов допомагало артистам використовувати багатство гумору обох народів. Штепсель у цьому дуеті був традиційним резонером, і хоча найвеселіші репліки випадали Тимошенку, втім, цементував програму саме Березін. Тим паче що, володіючи чудовою пам’яттю, він нерідко підказував своєму забудькуватому партнеру тексти інтермедій.
Зараз багато творчих людей скаржаться на те, як складно було працювати за радянських часів: цензура просто лютувала. Тарапуньці і Штепселю теж часом було важко затверджувати свої сатиричні номери. Їхні загалом досить не дуже дошкульні мініатюри часто не пропускали, і доводилося відправлятися на уклін у начальницькі кабінети.
Робив це знову-таки Юхим Йосипович, адже Тимошенка до цих бюрократів і близько підпускати не можна було — він починав нервувати, заводитися, у підсумку висловлював черговому начальнику все, що думав про нього, зокрема і про всю радянську систему у цілому, і справа здавалася зовсім загубленою.
«Та пішли вони всі!» — гарячкував у таких випадках Тимошенко. Тоді Березін одягав один зі своїх парадних костюмів (він узагалі був чепуруном, любив елегантні речі і, що важливо, вмів їх носити) і йшов, як він любив говорити, «вирішувати питання». Невідомо, що вже він там такого робив, як переконував цих малоприємних людей, але повертався завжди з перемогою.
Поступово артисти прийшли до необхідності створювати естрадні вистави. Пробою пера виявилася програма «Везли естраду на декаду», яка з величезним успіхом була показана влітку 1960 року під час Декади українського мистецтва в Москві. Визнанням успіху стало присвоєння акторам звання народних артистів України.
Надалі Тимошенко та Березін підготували кілька концертних програм, деякі з них лягли в основу фільмів, де артисти виступали співавторами сценарію, режисерами та виконавцями головних ролей («Їхали ми, їхали», «Штепсель одружує Тарапуньку», «Сміханічні пригоди Тарапуньки і Штепселя» ).
Смерть Юрія Тимошенка у 1986 році стала для Юхима Березіна страшним ударом: він утратив не тільки партнера, але й вірного друга. На похороні Юхим Йосипович сказав: «Так багато хотів тобі сказати на прощання, але... Пробач, Юро, я вперше забув свій текст».
Деякий час Юхим Березін ще виступав із програмами пам’яті Юрія Тимошенка, але важка хвороба змусила його у 75 років остаточно розпрощатися з естрадою. У 1990-х роках артист виїхав з родиною до Ізраїлю. Юхим Йосипович помер у Тель-Авіві 29 травня 2004 року.
У серпні 2018 року в Одесі на фасаді будинку по вулиці Княжій, 29, де народився і жив до війни Юхим Березін, урочисто відкрили меморіальну дошку видатному артисту.